for(i=1;sum < LIMIT;i++)  <-- 이 문장에서 for 문이 종료되어 빠져 나가는
시점이 sum >= limit 이 시점이 됩니다. 그러니 마지막에 sum 값을 출력하면
항상 limit 보다 크거나 같은 값만 출력되는 것입니다.

    for(i=1; i < LIMIT ; i++)
    {
        if(sum < LIMIT)
        {
            printf(" %d\n", sum);
            sum +=i ;
        }
        else
        {
            sum -= (i-1) ;
            break ;
        }
    }

이렇게 고쳐 보세요... 그럼 답이 나옵니다.