ㅎㅎ 이건 델파이 관련에 가까운데... ^^;;
다음과 같이 예외 객체를 받아서 메시지를 뿌리면 됩니다. 뭔가 좀 더 구체적인 원인이 나올 겁니다.
메시지를 보시고 그래도 잘 이해가 안되시면 메시지를 가지고 다시 질문해주세요. ^^

  try
     ZConnection1.Connect;
  except
      on E: Exception do
      begin
        ShowMessage('- CONNECTION FAILURE ' + #10#13#10#13 + E.Message);
        exit;
      end;
  end;


윤채용 님이 쓰신 글 :
: 컴퓨터를 켤때마다 파이어버드에 접속하는 부분에 대한 문제가 있습니다.
: 아무래도 Port 쪽 문제인것 같습니다.
: 개인집에서 사용하는 편이며 공유기를 사용하고 있습니다.
: Port 는 3050 으로 되어있으며
: - CONNECTION FAILURE 라는 메시지가 나와서 컴퓨터를 다시켜면 또 해결 됩니다.
: 파이어버드를 처음 접하면서 책도 1권밖에 없다보니....
: 많은 조언좀 해 주세요.
: 감사합니다.
:
:   // -----------------------------------------------------
:   // EDIT 박스를 통해 입력된 데이터베이스의 접속정보를
:   // TZConnection 프로퍼티에 등록을 해줍니다.
:   // -----------------------------------------------------
:   ZConnection1.HostName := 'localhost' ;
:   ZConnection1.Database := 'c:\board.fdb' ;
:   ZConnection1.User     := 'testuser' ;
:   ZConnection1.Password := 'testpass' ;
:   ZConnection1.Port     :=  3050;
:   ZConnection1.Protocol := 'firebird-1.5';
:
:   // -----------------------------------------------------
:   // 데이터베이스에 접속을 합니다.
:   // -----------------------------------------------------
:   try
:      ZConnection1.Connect;
:   except
:      ShowMessage('- CONNECTION FAILURE '); //이 메시지가 계속 나왔다 않나왔다 합니다.
:      exit;
:   end;